Прагляд зыходнага тэксту старонкі Цэнтральная сіметрыя

'''Цэнтральнай сіметрыяй''' (часам '''цэнтральнай інверсіяй''') адносна пункта ''A'' называюць пераўтварэнне [[Прастора|прасторы]], якое пераводзіць пункт ''X'' у такі пункт ''X`'', што ''A'' — сярэдзіна адрэзка ''XX`''. Цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у пункце ''A'' звычайна абазначаецца праз <math>Z_A</math>, у той час як абазначэнне <math>S_A</math> можна пераблытаць з восевай сіметрыяй. Фігура называецца сіметрычнай адносна пункта ''A'', калі для кожнага пункта фігуры сіметрычны ёй пункт адносна пункта ''A'' таксама належыць гэтай фігуры. Пункт ''A'' называецца цэнтрам сіметрыі фігуры. Кажуць таксама, што фігура валодае цэнтральнай сіметрыяй.

Іншыя назвы гэтага пераўтварэння — [[сіметрыя]] з цэнтрам ''A''. Цэнтральная сіметрыя ў планіметрыі з'яўляецца асобным выпадкам [[паварот]]у, дакладней, з'яўляецца паваротам на 180 градусаў.

== Фармальны запіс ==
* Няхай ''G'' — аператар цэнтральнай сіметрыі, пункт ''A'' зададзены [[радыус-вектар]]ам <math>\vec{r_A}</math>, а пункт, які пераўтвараецца, задаецца радыус-вектарам <math>\vec{x}</math>. Тады мае месца наступная формула:

*: <math>G(\vec{x}) = 2\vec{r_A} - \vec{x} </math>

== Звязаныя азначэнні ==

Калі фігура пераходзіць у сябе пры сіметрыі адносна пункта ''A'', то A называюць цэнтрам сіметрыі гэтай фігуры.

== Агульныя ўласцівасці ==

* Цэнтральная сіметрыя з'яўляецца [[ізаметрычнае адлюстраванне|рухам (ізаметрыяй)]].

* У n-мернай прасторы калі пераўтварэнне ''R'' з'яўляецца паслядоўным адлюстраваннем адносна ''n'' ўзаемна перпендыкулярных гіперплоскасцей, то ''R'' — цэнтральная сіметрыя адносна агульнага пункта гэтых гіперплоскасцей. Акрамя таго:

* У цотнамерных прасторах цэнтральная сіметрыя захоўвае арыентацыю, а ў няцотнамерных — не захоўвае.

* Цэнтральную сіметрыю можна прадставіць таксама як гоматэтыю з цэнтрам ''A'' і каэфіцыентам −1 (<math>H_A^{-1}</math>).

* Кампазіцыя дзвюх цэнтральных сіметрый — паралельны перанос на падвоены вектар з першага цэнтра ў другі:

*: <math>Z_A\circ Z_B = T_{2\vec{AB}}</math>

== Сіметрыя на прамой ==

У аднамернай прасторы (на прамой) цэнтральная сіметрыя з'яўляецца люстраною сіметрыяй.

== На плоскасці ==

На плоскасці (у 2-мернай прасторы) сіметрыя з цэнтрам ''A'' ўяўляе сабой паварот на 180° з цэнтрам ''A'' (<math>R_A^{180}</math>). Цэнтральная сіметрыя на плоскасці, як і паварот, захоўвае арыентацыю.

== У трохмернай прасторы ==

Цэнтральную сіметрыю ў трохмернай прасторы называюць таксама сферычнай сіметрыяй.

Яе можна прадставіць як кампазіцыю адлюстравання адносна плоскасці, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, з паваротам на 180° адносна прамой, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі і перпендыкулярнай вышэйзгаданай плоскасці адлюстравання.

== У чатырохмернай прасторы ==

У 4-мернай прасторы цэнтральную сіметрыю можна прадставіць як кампазіцыю двух паваротаў на 180° вакол дзвюх узаемна перпендыкулярных плоскасцей (перпендыкулярных ў 4-мерным сэнсе), якія праходзяць праз цэнтр сіметрыі.

== Гл. таксама ==

* [[Восевая сіметрыя]]
* [[Люстраная сіметрыя]]

[[Катэгорыя:Сіметрыя]]