Прагляд зыходнага тэксту старонкі Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля

'''Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля''' — адна з фундаментальных [[Тэарэма|тэарэм]] класічнай [[Электрадынаміка|электрадынамікі]], сфармуляваная [[Андрэ Мары Ампер]]ам ў [[1826]] годзе. У [[1861]] году [[Джэймс Максвел]] зноў вывеў гэтую тэарэму, абапіраючыся на аналогіі з [[гідрадынаміка]]й, і абагульніў яе ([[#Абагульненне|гл. ніжэй]]). Ураўненне, якое прадстаўляе сабой змест тэарэмы у гэтым абагульненым выглядзе, уваходзіць у лік [[Ураўненні Максвела|ураўненняў Максвела]]. (Для выпадку пастаянных электрычных палёў - гэта значыць у прынцыпе ў [[Магнітастатыка|магнітастатыцы]] - верная тэарэма ў першапачатковым выглядзе, які сфармуляваў Ампер і прыведзены у артыкуле першым; для агульнага выпадку правая частка павінна быць дапоўнена членам з вытворнай [[Напружанасць электрычнага поля|напружанасці электрычнага поля]] па часе - гл ніжэй). Тэарэма абвяшчае:

{|
|<blockquote>
Цыркуляцыя магнітнага поля пастаянных токаў па ўсякім замкнёным контуры прапарцыйная суме [[Сіла току|сіл токаў]], пранізлівых контур цыркуляцыі.
</blockquote>
|}

Гэтая тэарэма, асабліва ў замежнай або перакладной літаратуры, называецца таксама тэарэмай Ампера або законам Ампера пра цыркуляцыю ([[Англійская мова|англ]]. Ampère's circuital law). Апошняя назва мае на ўвазе разгляд закона Ампера ў якасці больш фундаментальнага сцвярджэнні, чым [[закон Біё — Савара — Лапласа]], які ў сваю чаргу разглядаецца ўжо ў якасці следства (што, у цэлым, адпавядае сучаснаму варыянту пабудовы электрадынамікі).

Для агульнага выпадку (класічнай) электрадынамікі формула павінна быць дапоўненая ў правай частцы членам, якія змяшчаюць вытворную па часе ад электрычнага поля (гл. [[ураўненні Максвела]], а таксама параграф «Абагульненне» ніжэй). У такім дапоўненым выглядзе яна ўяўляе сабой чацвёртае ураўненне Максвела ў інтэгральнай форме.

== Матэматычная фармулёўка ==

У матэматычнай фармулёўцы для магнітастатыкы тэарэма мае <ref>Прыведзена тут у [[СГС|гаусавай сістэме адзінак]], у [[СІ, міжнародная сістэма адзінак вымярэння|сістэме СІ]] канстанта ў правай частцы замест<math>\frac{4\pi}{c}</math> запісваецца як <math>\mu_0</math>.</ref> наступны выгляд<ref>тут і ніжэй выкарыстаная сістэма [[СГС]], у сістэме [[СІ, міжнародная сістэма адзінак вымярэння|СІ]] каэфіцыенты адсутнічаюць</ref>:
: <math>\oint\vec B \cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c}\int\vec j\cdot \vec{ds}</math>

Тут <math>\vec B</math> — вектар [[Магнітная індукцыя|магнітнай індукцыі]], <math>\vec j</math> — [[шчыльнасць току]]; інтэграванне злева вырабляецца па адвольным замкнёным контуры, справа — па адвольнай паверхні, нацягнутай на гэты контур. Дадзеная форма носіць назву інтэгральнай, паколькі ў відавочным выглядзе ўтрымлівае інтэграванне. Тэарэма можа быць таксама прадстаўлена ў дыферэнцыяльнай форме:

: <math>\mathrm{rot}\ \vec B = \frac{4\pi}{c}\vec j</math>

Эквівалентнасць інтэгральнай і дыферэнцыяльнай формаў вынікае з [[тэарэма Стокса|тэарэмы Стокса]].

Прыведзеная вышэй форма справядлівая для [[вакуум]]у. У выпадку ўжывання яе ў асяроддзі (рэчыве), яна будзе карэктная толькі ў выпадку, калі пад '''j''' разумець наогул усё токі, гэта значыць ўлічваць і «мікраскапічныя» токі, бягучыя в рэчыве, у тым ліку «мікраскапічныя» токі, бягучыя у абласцях памерамі парадку памеру малекулы (гл. [[дыямагнетыкі]]) і [[Магнітны момант|магнітныя моманты]] мікрачасцін (см.напрыклад ферамагнетыкі).

Таму ў рэчыве, калі не грэбаваць яго магнітнымі ўласцівасцямі, часта зручна з поўнага току вылучыць ток намагнічанага (гл. звязаныя токі), выказаўшы яго праз велічыню [[намагнічанасць]] <math>I</math> і увёўшы вектар [[напружанасць магнітнага поля|напружанасці магнітнага поля]]

: <math>\vec H = \vec B - 4\pi \vec I</math>

Тады тэарэма пра цыркуляцыю запішацца ў форме

: <math>\oint\vec H\cdot \vec{dl} =
\frac{4\pi}{c}\int\vec j_f\cdot \vec{ds}</math>
: <math>\mathrm{rot}\ \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j_f,</math>

дзе пад <math>\vec j_f</math> (у адрозненне ад <math>\vec j</math> ў формуле вышэй) маюцца на ўвазе т. зв. свабодныя токі, у якіх ток намагнічання выключаны (што бывае зручна практычна, паколькі <math>\vec j_f</math> - гэта звычайна ўжо ў сутнасці макраскапічныя токі, якія не звязаны з намагнічаныя рэчывы і якія ў прынцыпе няцяжка непасрэдна вымераць)<ref>На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс ''f'' у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста <math>\vec j </math>. Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні - <math>\vec I, \vec H </math> т.п. і фармальна выключаны з разгляду.</ref>.

У дынамічным выпадку - гэта значыць, у агульным выпадку класічнай электрадынамікі - калі палі змяняюцца ў часе (а ў асяроддзях пры гэтым змяняецца і іх палярызацыя) - і гаворка тады ідзе аб абагульненай тэарэме, у якую ўваходзяць <math>d\vec E/dt</math>, - усё сказанае вышэй адносіцца і да мікраскапічным токах, звязаных з зменамі палярызацыі дыэлектрыка. Гэтая частка токаў тады ўлічваецца ў члене <math>d\vec D/dt</math>.

== Абагульненне ==
{{main|Закон Ампера — Максвела}}

Асноўным фундаментальным абагульненнем <ref>Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы.</ref> тэарэмы з'яўляецца чацвёртае ураўненне Максвела. У інтэгральнай форме яно з'яўляецца прамым абагульненнем на дынамічны выпадак магнітостатычнай формулы, прыведзенай вышэй. Для вакууму <ref>У гаусавай сістэме адзінак.</ref>:

: <math>\oint\vec B \cdot \vec{dl} 
= \frac{1}{c} \int(4\pi \vec j
+ \frac{\partial \vec E}{\partial t})\cdot \vec{ds}</math>

для асяроддзя<ref>У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:
: <math>\oint\vec{H}\cdot \vec{dl}
= \int \vec j \cdot \vec {ds}
+ \frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.</math>
</ref>:

: <math>\oint\vec{H}\cdot \vec{dl}
= \frac{4\pi}{c} \int \vec j \cdot \vec{ds}
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.</math>

(Як бачым, формулы адрозніваюцца ад прыведзеных вышэй толькі адным дадатковым членам з хуткасцю змены электрычнага поля ў правай часткі).

Дыферэнцыяльную форму гэтага ураўнення:

: <math>\mathbf{rot}\vec{B} 
= \frac{4\pi}{c}\vec j
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E},</math>
: <math>\mathbf{rot}\vec{H} 
= \frac{4\pi}{c}\vec j
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}</math>

(у гаусавай сістэме, для вакууму і асяроддзя адпаведна) - таксама можна пры жаданні лічыць варыянтам абагульнення тэарэмы пра цыркуляцыю магнітнага поля, паколькі яна, вядома, цесна звязана з інтэгральнай.

== Практычнае значэнне ==

[[Файл:Electromagnetism.svg|200px|міні|справа|Магнітнае поле прамалінейнага правадніка з токам.]]

Тэарэма пра цыркуляцыю гуляе ў [[Магнітастатыка|магнітастатыцы]] прыблізна тую ж ролю, што і [[тэарэма Гауса]] ў [[Электрастатыка|электрастатыцы]]. У прыватнасці, пры наяўнасці пэўнай [[Сіметрыя|сіметрыі]] задачы, яна дазваляе проста знаходзіць велічыню магнітнага поля ва ўсім прасторы па зададзеных токах. Напрыклад, для вылічэння магнітнага поля ад бясконцага прамалінейнага правадніка з токам па [[Закон Біё — Савара — Лапласа|закону Біё — Савара — Лапласа]] спатрэбіцца вылічыць невідавочны інтэграл, у той час як тэарэма пра цыркуляцыю (з улікам восевай сіметрыі задачы) дазваляе даць імгненны адказ:

: <math>B(r)\cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} I \to B(r) = \frac{2I}{cr}</math>.

{{зноскі}}

[[Катэгорыя:Магнітастатыка]]
[[Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы]]