Прагляд зыходнага тэксту старонкі Тэарэма Піфагора

[[Выява:Pythag anim.gif|right|210px|Навочны геаметрычны доказ тэарэмы]]
'''Тэарэма Піфагора''' — адна з асноўных [[Тэарэма|тэарэм]] [[Еўклідава геаметрыя|еўклідавай геаметрыі]], якая вызначае сувязь паміж старанамі [[Прамавугольны трохвугольнік|прамавугольнага трохвугольніка]].

== Гісторыя ==
[[Файл:Chinese pythagoras.jpg|300px|right|thumb|[[Чжоу бі суань цзын]] 500-200 гадоў да нашай эры. Злева надпіс: сума квадратаў даўжынь вышыні і асновы ёсць квадрат даўжыні гіпатэнузы.]]

У старажытнакітайскай кнізе Чжоу бі суань цзын ({{lang-zh|周髀算經}}) гаворыцца пра піфагоравы трохвугольнік з бакамі 3, 4 і 5<ref>{{кніга|частка=Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование|загаловак=Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах|спасылка=http://www.synologia.ru/a/%D0%A7%D0%B6%D0%BE%D1%83_%D0%B1%D0%B8_%D1%81%D1%83%D0%B0%D0%BD%D1%8C_%D1%86%D0%B7%D0%B8%D0%BD|адказны=М. Л. Титаренко|месца=М.|выдавецтва=Восточная литература РАН|год=2009|том=5|старонкі=939-941|старонак=1055|isbn=9785020184299}}</ref>. У гэтай жа кнізе прапанаваны малюнак, які супадае з адным з чарцяжоў індускай геаметрыі Басхары.

Морыц Кантар (найбуйнейшы нямецкі гісторык матэматыкі) лічыць, што роўнасць 3² + 4² = 5² было вядома ўжо егіпцянам яшчэ каля 2300 года да н. э., у часы цара Аменемхета I (згодна з папірусам 6619 Берлінскага музея). На думку Кантара, гарпеданапты, або «нацягвачы вяровак», будавалі прамыя вуглы пры дапамозе прамавугольных трохвугольнікаў з бакамі 3, 4 і 5.

Вельмі лёгка можна прайграць іх спосаб пабудовы. Возьмем вяроўку даўжынёю ў 12 м і прывяжам да яе па каляровыя палоскі на адлегласці 3 м ад аднаго канца і 4 метра ад іншага. Прамы вугал апынецца паміж бакамі даўжынёй у 3 і 4 метра. Гарпеданаптам можна было б запярэчыць, што іх спосаб пабудовы становіцца залішнім, калі скарыстацца, напрыклад, драўляным вугольнікам, што прымяняюцца усімі цеслямі. І сапраўды, вядомыя егіпецкія малюнкі, на якіх сустракаецца такі інструмент, — напрыклад, малюнкі, якія паказваюць сталярную майстэрню.

Некалькі больш вядома аб тэарэме Піфагора у вавіланян. У адным тэксце, якія адносяцца да часу Хамурапі, гэта значыць да 2000 года да н. э., прыводзіцца набліжанае вылічэнне гіпатэнузы роўнабаковага прамавугольнага трохвугольніка<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics]</ref>. Адсюль можна зрабіць выснову, што ў Месапатаміі ўмелі рабіць вылічэнні з прамавугольным трохвугольніку, па меншай меры ў некаторых выпадках.

Грунтуючыся, з аднаго боку, на сённяшнім узроўні ведаў аб егіпецкай і вавілонскай матэматыцы, а з другога — на крытычным вывучэнні грэчаскіх крыніц, Ван-дэр-Вард (галандскі матэматык) зрабіў выснову аб вялікай імавернасці таго, што тэарэма аб квадраце гіпатэнузы была вядомая ў Вавілоне ўжо каля XVIII стагоддзя да н. э.

Згодна з каментарыю Прокла да Еўкліда, Піфагор (гадамі жыцця якога прынята лічыць 570-490 гг. да н. э.) выкарыстаў алгебраічныя метады, каб знаходзіць піфагоравыя тройкі. Аднак Прокл пісаў паміж 410 і 485 гг. н. э. Томас Літл Хіт лічыў, што не існуе відавочнага згадвання, які адносіцца да перыяду працягласцю 5 стагоддзяў пасля смерці Піфагора, што Піфагор быў аўтарам тэарэмы<ref>{{Harv|Euclid|1956|p=351}} [http://books.google.com/?id=UhgPAAAAIAAJ&pg=PA351 С. 351]</ref>. Аднак, калі аўтары, такія як Плутарх і Цыцэрон, пішуць пра тэарэму Піфагора, яны пішуць так, як быццам аўтарства Піфагора было шырока вядомым і несумнеўным<ref name="heath144">{{Harv|Heath|1921|loc= Vol I, p. 144}}</ref><ref name=Heath3>Обсуждение исторических фактов приведено в {{Harv|Euclid|1956|p=351}} [http://books.google.com/?id=UhgPAAAAIAAJ&pg=PA351 С. 351]</ref>. «Ці прыналежыць гэтая формула асабіста пяру Піфагора…, але мы можам упэўнена лічыць, што яна належыць найстаражытнейшаму перыяду піфагоравай матэматыкі»<ref name=Fritz>{{cite journal |title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum  |author=[[Фриц, Курт фон|Kurt Von Fritz]] |journal=The Annals of Mathematics, Second Series|volume=  46 |date=Apr., 1945|pages= 242–264 |jstor=1969021 |issue=  2 |publisher=Annals of Mathematics |ref=harv}}</ref>. Паводле падання, Піфагор адсвяткаваў адкрыццё сваёй тэарэмы гіганцкім балем, для якга закалолі на радасцях сотню быкоў<ref>Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7</ref>.

Прыблізна ў 400 г. да н. э., згодна з Проклам, Платон даў метад знаходжання піфагоравых троек, які спалучае алгебру і геаметрыю. Прыблізна ў 300 г. да н. э. у «Пачатках» Еўкліда з'явілася найстарэйшы аксіяматычны доказ тэарэмы Піфагора<ref name= Aaboe>
{{cite book |title=Episodes from the early history of mathematics |author=Asger Aaboe |url=http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 |page=51 |quote=...it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs. |isbn=0883856131 |year=1997 |publisher=[[Mathematical Association of America]]}}</ref>.

== Фармулёўкі ==

[[Файл:Pythagorean.svg|right|thumb|'''Тэарэма Піфагора''': Сума плошчаў квадратаў, якія абпіраюцца на катэты (''a'' і ''b''), роўная плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе (''c'').|240px]]

'''Геаметрычная фармулёўка:'''

Першапачаткова тэарэма была сфармуліраваная наступным чынам:
{{рамка}}
У прамавугольным трохвугольніку плошча квадрата, пабудаванага на [[гіпатэнузы|гіпатэнузе]], роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на [[катэты|катэты]].
{{/рамка}}

'''Алгебраічная фармулёўка:'''
{{рамка}}
У прамавугольным трохвугольніку квадрат даўжыні гіпатэнузы роўны суме квадратаў даўжынь катэтаў.
{{/рамка}}

Гэта значыць, пазначыўшы даўжыню гіпатэнузы трохвугольніка праз <math>c</math>, а даўжыні катэтаў праз <math>a</math> і <math>b</math>:
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>

Абедзве фармулёўкі тэарэмы эквівалентныя, але другая фармулёўка больш элементарна, яна не патрабуе паняцці [[плошча фігуры|плошчы]].
Гэта значыць другое зацвярджэнне можна праверыць, нічога не ведаючы пра плошчы і вымераўшы толькі даўжыні бакоў прамавугольнага трохвугольніка.

'''Адваротная тэарэма Піфагора:'''
{{рамка}}
Для ўсякай тройкі станоўчых лікаў <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, такой, што <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, існуе прамавугольны трохвугольнік з катэтамі <math>a</math> і <math>b</math> і гіпатэнузай <math>c</math>.
{{/рамка}}

== Доказы ==
На дадзены момант у навуковай літаратуры зафіксавана 367 доказаў дадзенай тэарэмы<ref>''Pythagorean Proposition'', by Elisha Scott Loomis</ref>. Верагодна, тэарэма Піфагора з'яўляецца адзінай тэарэмай са гэтак вялікім лікам доказаў. Такое разнастайнасць можна растлумачыць толькі фундаментальным значэннем тэарэмы для геаметрыі.

Зразумела, канцэптуальна усе іх можна разбіць на малое колькасць класаў. Самыя вядомыя з іх: доказы метадам плошчаў, аксіяматычныя і экзатычныя доказы (напрыклад, з дапамогай дыферэнцыяльных ураўненняў).

=== Праз падобныя трохвуглоьнікі ===
Наступны доказ алгебраічнай фармулёўкі — найбольш просты з доказаў, якія будуюцца напрамую з аксіём. У прыватнасці, ён не выкарыстоўвае паняцце плошчы фігуры.

[[Файл:Podobnye treugolniki proof.png|right|400px]]

Хай ABC ёсць прамавугольны трохвугольнік з прамым вуглом C. Зробім вышыню з C і абазначым яе падстава праз H. Трохвугольнік ACH падобны да трохвугольніку ABC па двух вуглах. Аналагічна, трохвугольнік CBH падобны да ABC. Увёўшы абазначэнні

: <math> |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c</math>
атрымаем
: <math> \frac{a}{c}=\frac{|HB|}{a}; \frac{b}{c}=\frac{|AH|}{b}.</math>
Што эквівалентна
: <math>a^2=c\cdot |HB|; b^2=c\cdot |AH|.</math>
Дадаўшы, атрымаем
: <math>a^2+b^2=c\cdot\left(|HB|+|AH|\right)=c^2.</math>
або
: <math>a^2+b^2=c^2</math>, што і патрабавалася даказаць.

=== Доказы метадам плошчаў ===

Ніжэй прыведзеныя доказы, нягледзячы на іх ўяўную прастату, зусім не такія простыя. Усе яны выкарыстоўваюць ўласцівасці плошчы, доказы якіх складаней доказы самой тэарэмы Піфагора.

==== Доказ праз роўнадапаўняльнасць ====

[[Файл:Pythagorean proof2.png|thumb|400px|right|Мал.1]]

# Размесцім чатыры роўных прамавугольных трохвугольніка так, як паказана на малюнку 1.
# Чатырохвугольнік з бакамі ''c'' з'яўляецца квадратам, так як сума двух вострых вуглоў 90°, а разгорнуты вугал — 180°.
# Плошча ўсёй фігуры роўная, з аднаго боку, плошчы квадрата з бокам (a+b), а з другога боку, суме плошчаў чатырох трохвугольнікаў і плошчы ўнутранага квадрата.

: <math>(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;</math>
: <math>a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}</math>
: <math>c^2=a^2+b^2;\frac{}{}</math>

Што і патрабавалася даказаць.

==== Доказ Еўкліда ====

[[Файл:Teorema de Pitágoras.Euclides.svg|400px|left|thumb|Чарцёж да доказу Еўкліда]]
[[Файл:Pythagorasanimation.gif|thumb|Ілюстрацыя да доказу Еўкліда|200px]]

Ідэя доказу Еўкліда складаецца ў наступным: паспрабуем даказаць, што палова плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, роўная суме палоў плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэты, а тады і плошчы вялікага і двух малых квадратаў роўныя.

Разгледзім чарцёж злева. На ім мы пабудавалі квадраты на баках прамавугольнага трохвугольніка і правялі з вяршыні прамога вугла С прамень s перпендыкулярна гіпатэнузе AB, ён рассякае квадрат ABIK, пабудаваны на гіпатэнузы, на два прамавугольніка — BHJI і HAKJ адпаведна. Аказваецца, што плошчы дадзеных прамавугольнікаў у дакладнасці роўныя плошчам квадратаў, пабудаваных на адпаведных катэтах.

Паспрабуем даказаць, што плошча квадрата DECA роўная плошчы прамавугольніка AHJK. Для гэтага скарыстаемся дапаможным наглядам: Плошча трохвугольніка з той жа вышынёй і асновай, што і дадзены трохвугольнік, роўная палове плошчы зададзенага прамавугольніка. Гэта следства вызначэння плошчы трохвугольніка як паловы здабытку асновы на вышыню. З гэтага назірання выцякае, што плошча трохвугольніка ACK роўная плошчы трохвугольніка AHK (не намаляванага на малюнку), якая, у сваю чаргу, роўная палове плошчы прамавугольніка AHJK.

Дакажам цяпер, што плошча трохвугольніка ACK таксама роўная палове плошчы квадрата DECA. Адзінае, што неабходна для гэтага зрабіць, — гэта даказаць роўнасць трохвугольнікаў ACK і BDA (так як плошча трохвугольніка BDA роўная палове плошчы квадрата па паказанай вышэй ўласцівасці). Роўнасць гэта відавочная: трохвугольнікі роўныя па двух баках і вуглу паміж імі. Менавіта — AB = AK, AD = AC — роўнасць вуглоў CAK і BAD лёгка даказаць метадам руху: повернём трохвугольнік CAK на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, тады відавочна, што адпаведныя боку двух разгляданых трохвугольнікаў супадуць (з прычыны таго, што вугал пры вяршыні квадрата 90°).

Разважанне аб роўнасці плошчаў квадрата BCFG і прамавугольніка BHJI зусім аналагічнае.

Тым самым мы даказалі, што плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы, складаецца з плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах. Ідэя дадзенага доказу дадаткова праілюстравана з дапамогай анімацыі, размешчанай вышэй.

Дадзены доказ таксама атрымаў назву «піфагоравы штаны».

==== Доказ Леанарда да Вінчы ====

[[Файл:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|300px|left|thumb|Доказ Леанарда да Вінчы]]

Галоўныя элементы доказы - сіметрыя і рух.

Разгледзім чарцёж, як відаць з сіметрыі, адрэзак CI рассякае квадрат ABHJ на дзве аднолькавыя часткі (так як трохвугольнікі ABC і JHI роўныя па пабудове).

Карыстаючыся паваротам на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі вакол пункту A, мы ўгледжваем роўнасць заштрыхаваных фігур CAJI і DABG.

Цяпер ясна, што плошча заштрыхаванай намі фігуры роўная суме палоў плошчаў маленькіх квадратаў (пабудаваных на катэтах) і плошчы зыходнага трохвугольніка. З іншага боку, яна роўная палове плошчы вялікага квадрата (пабудаванага на гіпатэнузы) плюс плошчу зыходнага трохвугольніка. Такім чынам, палова сумы плошчаў маленькіх квадратаў роўная палове плошчы вялікага квадрата, а такім чынам сума плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах роўная плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузы.

=== Доказ метадам бясконца малых ===

Наступны доказ пры дапамозе дыферэнцыяльных ураўненняў часта прыпісваюць вядомаму англійскаму матэматыку Хардзі, які жыў у першай палове XX стагоддзя.

Разглядаючы чарцёж, паказаны на малюнку, і назіраючы змену боку a, мы можам запісаць наступныя суадносіны для бясконца малых прырашчэння бакоў с і a (выкарыстоўваючы падабенства трохвугольнікаў):

[[Файл:PythagoreanDerivation.svg|thumb|right|Доказ метадам бясконца малых|300px]]
: <math>\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}</math>

Карыстаючыся метадам падзелу зменных, знаходзім
: <math>c\, dc = a\, da</math>
Больш агульны выраз для змены гіпатэнузы ў выпадку прырашчэння абодвух катэтаў
: <math>c\ dc = a\, da + b\, db</math>
Інтэгруючы дадзенае ўраўненне і выкарыстоўваючы пачатковыя ўмовы, атрымліваем
: <math>c^2 = a^2 +b^2 + \mathrm{constant}.</math>
: <math>a = b = c = 0 \Rightarrow \mathrm{constant} = 0</math>
Такім чынам, мы прыходзім да жаданага адказу
: <math>c^2 = a^2 +b^2.</math>
Як няцяжка бачыць, квадратычнай залежнасць ў канчатковай формуле з'яўляецца дзякуючы лінейнай прапарцыянальнасці паміж бакамі трохвугольніка і прырашчэннем, тады як сума звязана з незалежнымі укладамі ад прырашчэння розных катэтаў.

Больш просты доказ можна атрымаць, калі лічыць, што адзін з катэтаў не адчувае прырашчэння (у дадзеным выпадку катэт <math>b</math>). Тады для канстанты інтэгравання атрымаем
: <math>a=0 \Rightarrow c^2 = b^2 = \mathrm{constant}.</math>

== Варыяцыі і абагульненні ==
=== Падобныя геаметрычныя фігуры на трох баках ===

[[Файл:Pythagoras applied to similar triangles.svg|thumb|Абагульненне для падобных трохвугольнікаў, плошча зялёных фігур {{nowrap|A + B {{=}} плошчы}} сіняй C]]
[[Файл:Pythagoras by similar triangles.svg|thumb|Тэарэма Піфагора з выкарыстаннем падобных прамавугольных трохвугольнікаў]]

Абагульненне тэарэмы Піфагора зрабіў Еўклід ў сваёй працы ЦПачаткі", пашырыўшы плошчы квадратаў на баках да плошчаў падобных геаметрычных фігур<ref name=Euclid_VI>Euclid’s ''Elements'': Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»</ref>:

<blockquote>Калі пабудаваць падобныя геаметрычныя фігуры (гл. Эўклідава геаметрыя) на баках прамавугольнага трохвугольніка, тады сума двух меншых фігур будзе раўняцца плошчы большай фігуры.</blockquote>

Галоўная ідэя гэтага абагульнення заключаецца ў тым, што плошча падобнай геаметрычнай фігуры прапарцыянальная квадрату любога свайго лінейнага памеру і ў прыватнасці квадрату даўжыні любога боку. Такім чынам, для падобных фігур з плошчамі ''A'', ''B'' і ''C'' пабудаваных на баках з даўжынёй ''a'', ''b'' і ''c'', маем:

: <math>\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,</math>
: <math>\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .</math>

Але, па тэарэме Піфагора, ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup>, тады ''A'' + ''B'' = ''C''.

І наадварот, калі мы зможам даказаць, што ''A'' + ''B'' = ''C'' для трох падобных геаметрычных фігур без выкарыстання тэарэмы Піфагора, тады мы зможам даказаць саму тэарэму, рухаючыся ў зваротным кірунку. Напрыклад, стартавы цэнтральны трохвугольнік можа быць паўторна выкарыстаны як трохвугольнік C на гіпатэнузы, і два падобных прамавугольных трохвугольніка (''A'' і ''B''), пабудаваныя на двух іншых баках, якія ўтвараюцца ў выніку дзялення цэнтральнага трохвугольніка яго вышынёй. Сума двух меншых плошчаў трохвугольнікаў тады, відавочна, роўная плошчы трэцяга, такім чынам ''A'' + ''B'' = ''C'' і, выконваючы папярэдняе даказванне ў зваротным парадку, атрымаем тэарэму Піфагора a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>.

=== Тэарэма косінусаў ===
{{Асноўны артыкул|Тэарэма косінусаў}}
Тэарэма Піфагора — гэта прыватны выпадак больш агульнай тэарэмы косінусаў, якая звязвае даўжыні бакоў у адвольным трохвугольніку:<ref name= Leff1>

{{cite book |title=''cited work'' |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 |page=326 |isbn=0764128922 |publisher=Barron's Educational Series |date=2005-05-01}}

</ref>
:: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,</math>
дзе θ - вугал паміж бакамі  ''a'' і ''b''.

Калі θ роўны 90 градусаў, тады cos''θ'' = 0 і формула спрашчаецца да звычайнай тэарэмы Піфагора.

=== Адвольны трохвугольнік ===

[[Файл:Tâbit ibn Qorra.svg|thumb|Абагульненне тэарэмы Піфагора ад Сабіта ібн Кура.<ref name=Eves>

{{cite book |title=Great moments in mathematics (before 1650) |author=Howard Whitley Eves |url=http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 |chapter=§4.8:...generalization of Pythagorean theorem  |isbn=0883853108 |year=1983 |page=41 |publisher=Mathematical Association of America}}

</ref> Ніжні малюнак: адлюстраванне трохвугольніка ABD (зверху), каб утварыць трохвугольнік DBA, падобны трохвугольніку ABC (верхні).]]

У любы абраны вугал адвольнага трохвугольніка з бакамі ''a, b, c'' ўпішамся роўнабаковы трохвугольнік такім чынам, каб роўныя вуглы пры яго аснове θ былі роўныя выбраным куце. Дапусцім, што абраны вугал θ размешчаны насупраць боку, пазначанай ''c''. У выніку мы атрымалі трохвугольнік ABD з вуглом θ, што размешчаны насупраць боку ''a'' і боку ''r''. Другі трохвугольнік утворыцца вуглом θ, што размешчаны насупраць боку ''b'' і боку з даўжынёй s, як паказана на малюнку. Сабіт Ібн Кура<ref name=Qorra>Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826—901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.

</ref> сцвярджаў, што бакі ў гэтых трох трохвугольніках звязаныя наступным чынам:<ref name=Sayii>

{{cite journal |doi=10.1086/348837 |jstor=227603 |author=Aydin Sayili |year= 1960 |title= Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem  |journal= Isis |volume= 51 |issue=1 |pages= 35–37 |month=Mar. |ref=harv}}</ref><ref name=Sally2>

{{cite book |title=Cited work |author=Judith D. Sally, Paul Sally |chapter=Exercise 2.10 (ii) |page=62 |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62
|isbn=0821844032 |date=2007-12-21 }}
</ref>
: <math> a^2 +b^2 =c(r+s) \ . </math>

Калі вугал θ набліжаецца да π/2, аснова роўнабаковага трохвугольніка памяншаецца, і два бакі r і s перакрываюць адзін аднаго ўсё менш і менш. Калі θ = π/2, ADB ператвараецца ў прамавугольны трохвугольнік, ''r'' + ''s'' = ''c'' і атрымліваем пачатковую тэарэму Піфагора.

Разгледзім адзін з довадаў. Трохвугольнік ABC мае такія ж вуглы, як і Трохвугольнік ABD, але ў зваротным парадку. (Два трохвугольніка маюць агульны вугал пры вяршыні B, абодва маюць кут θ і таксама маюць аднолькавы трэці вугал, па суме вуглоў трохвугольніка) Адпаведна, ABC — падобны да адбіцця ABD трохвугольніка DBA, як паказана на ніжнім малюнку. Запішам суадносіны паміж супрацьлеглымі бакамі і прылеглымі да вугла θ,

: <math>\frac{c}{a} = \frac{a}{r} \ .</math>
Гэтак жа адлюстраванне іншага трохвугольніка,

: <math>\frac{c}{b} = \frac{b}{s} \ . </math>
Перамнажаць дробы і дадамо гэтыя дзве суадносіны:

: <math> cr +cs = a^2 +b^2 \ , </math>
што і патрабавалася даказаць.

=== Абагульненне для адвольных трохвугольнікаў праз паралелаграмы ===

[[Файл:Pythagoras for scalene triangle.svg|thumb|Абагульненне для адвольных трохвугольнікаў,<br />плошча зялёнага {{nowrap|участка {{=}} плошчы}} сіняга]]
[[Файл:Pythagoras construction.svg|thumb|Доказ тэзы, што на малюнку вышэй]]

Зробім далейшае абагульненне для непрамавугольных трохвугольнікаў, выкарыстоўваючы паралелаграмы на трох баках замест квадратаў<ref name=Jennings>

For the details of such a construction, see {{cite book |title=Modern geometry with applications: with 150 figures |author=George Jennings |chapter=Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem |page=23 |url=http://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23 |isbn=038794222X |year=1997 |edition=3rd |publisher=Springer}}

</ref>. (квадраты — прыватны выпадак.) Верхні малюнак дэманструе, што для востравугольнага трохвугольніка плошчу паралелаграма на доўгім баку роўная суме паралелаграма на двух іншых баках, пры ўмове што паралелаграм на доўгай баку пабудаваны, як намалявана на малюнку (памеры, адзначаныя стрэлкамі, аднолькавыя і вызначаюць бакі ніжняга паралелаграма). Гэтая замена квадратаў паралелаграма мае дакладнае падабенства з пачатковай тэарэмай Піфагора, лічыцца, што яе сфармуляваў Пап Александрыйскі ў 4 г. н. э.<ref name=Jennings/>

Ніжні малюнак паказвае ход доказу. Паглядзім на левы бок трохвугольніка. Левы зялёны паралелаграм мае такую ж плошчу, як левая частка сіняга паралелаграма, таму што яны маюць такое ж аснова ''b'' і вышыню ''h''. Акрамя таго, левы зялёны паралелаграм мае такую ж плошчу, як левы зялёны паралелаграм на верхнім малюнку, таму што яны маюць агульную аснова (верхняя левы бок трохвугольніка) і агульную вышыню, перпендыкулярную да гэтай баку трохвугольніка. Аналагічна разважаючы для правага боку трохвугольніка дакажам, што ніжні паралелаграм мае такую ж плошчу, як у двух зялёных паралелаграмаў.

=== Комплексныя чысла ===
Тэарэму Піфагора выкарыстоўваюць, каб знайсці адлегласць паміж двума пунктамі ў дэкартавай каардынатнай сістэме, і гэтая тэарэма справядлівая для ўсіх сапраўдных каардынат: адлегласць ''s'' паміж двума пунктамі (''a, b'') і (''c, d'') роўна

: <math>s = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}.\ </math>
Не ўзнікае праблем з формулай, калі да комплексным лікаў адносіцца як да вектарах з сапраўднымі кампанентамі {{nowrap|''x'' + ''i y'' {{=}} (''x'', ''y'').}} Напрыклад, адлегласць ''s'' паміж {{nowrap|0 + 1''i''}} і {{nowrap|1 + 0''i''}} разлічваем як модуль вектара {{nowrap|(0, 1) − (1, 0) {{=}} (−1, 1),}} або

: <math> s = \sqrt{ (-1)^2 +1^2} = \sqrt{2}.\ </math>

Тым не менш, для аперацый з вектарамі з комплекснымі каардынатамі неабходна правесці некаторае ўдасканаленне формулы Піфагора. Адлегласць паміж пунктамі з комплекснымі лікамі {{nowrap|(''a'', ''b'')}} і {{nowrap|(''c'', ''d'');}} ''a'', ''b'', ''c'', і ''d'' ўсё комплексныя, сфармулюем выкарыстоўваючы абсалютныя велічыні. Адлегласць ''s'' заснавана на вектарнай розніцы {{nowrap|(''a'' − ''c'', ''b'' − ''d'') }} у наступным выглядзе<ref name=Brown>
{{cite book |title=An introduction to analysis |author=Arlen Brown, Carl M. Pearcy |url=http://books.google.com/books?id=Y2Mwck8Q9A4C&pg=PA124 |page=124 |chapter=Item ''C'': Norm for an arbitrary ''n''-tuple ...  |isbn=0387943692 |publisher=Springer |year=1995}} See also pages 47-50.
</ref>: хай розніца 'a'' − ''c'' = ''p'' + i ''q'', где ''p'' — сапраўдная частка розніцы, ''q'' — уяўная частка, і i = √(−1). Аналагічна, хай ''b'' − ''d'' = ''r'' + i''s''. Тады:

: <math>
\begin{align}
s &= \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\
  &= \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\
  &= \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2},
\end{align}
</math>

дзе <math>\overline{\mathit z}</math> — гэта комплексны спалучаны лік для <math>\mathit z\ </math>. Напрыклад, адлегласць паміж пунктамі {{nowrap|(''a'', ''b'') {{=}} (0, 1)}} і {{nowrap|(''c'', ''d'') {{=}} (''i'', 0)}}, разлічым розніцай {{nowrap|(''a'' − ''c'', ''b'' − ''d'') {{=}} (−''i'', 1)}} і ў выніку мы б атрымалі 0, калі б не былі выкарыстаныя комплексныя спалучаныя. Такім чынам, выкарыстоўваючы удасканаленую формулу, атрымаем

: <math>s = \sqrt{(-i)\cdot(\overline{-i}) + 1 \cdot\overline{1}}= \sqrt{(-i)\cdot{i} + 1 \cdot{1}} = \sqrt{2}. \, </math>
Модуль вызначаны наступным чынам:

: <math>\|\mathbf p \| = \sqrt{\mathbf {p \cdot \overline{p}}} = \sqrt{|p_1|^2 + |p_2|^2 + \dots +|p_n|^2} \ , </math>
што ўяўляе сабой эрмітавы скалярны здабытак<ref name=Gray>

{{cite book |title=Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica |author=Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon |page=194 |url=http://books.google.com/?id=TGw98Z6Cv-EC&pg=PA194 |isbn=1584884487 |year=2006 |publisher=CRC Press |edition =3rd}}

</ref>.

=== Стэрэаметрыя ===

Значным абагульненнем тэарэмы Піфагора для трохмернай прасторы з'яўляецца тэарэма дэ Гуа, названая ў гонар Ж.-П. дэ Гуа: калі тэтраэдр мае прамы вугал (як у кубе), тады квадрат плошчы мяжы, якая ляжыць насупраць прамога вугла, роўны суме квадратаў плошчаў іншых трох граняў. Гэтая выснова можа быць абагульнены як «n-мерная тэарэма Піфагора»:<ref name=Bhatia>
{{cite book |title=Matrix analysis |author=Rajendra Bhatia |url=http://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 |page=21 |isbn=0387948465 |year=1997 |publisher=Springer}}
</ref>

[[Файл:Pythagoras 3D.svg|thumb|Тэарэма Піфагора ў трохмернай прасторы звязвае дыяганаль AD з трыма бакамі.]]

Іншае абагульненне: Тэарэма Піфагора можа быць прыменена для стэрэаметрыі ў наступным выглядзе. Разгледзім прамавугольны паралелепіпед, як паказана на малюнку. Знойдзем даўжыню дыяганалі BD па тэарэме Піфагора:

: <math> \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,</math>
дзе тры бакі ўтвараюць прастакутны трохвугольнік. Выкарыстоўваем гарызантальную дыяганаль BD і вертыкальнае рабро AB, каб знайсці даўжыню дыяганалі AD, для гэтага зноў выкарыстоўваем тэарэму Піфагора:

: <math> \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,</math>
або, калі ўсё запісаць адным ураўненнем:

: <math> \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2}  \ .</math>
Гэты вынік — гэта трохмерны выраз для вызначэння велічыні вектара v (дыяганаль AD), выяўленага праз яго перпендыкулярныя складнікі {'''v'''<sub>k</sub>} (тры ўзаемна перпендыкулярныя бакі):

: <math>\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.</math>

Гэта ўраўненне можна разглядаць як абагульненне тэарэмы Піфагора для шматмернай прасторы. Аднак, вынік на самай справе ёсць не што іншае, як неаднаразовае прымяненне тэарэмы Піфагора да паслядоўнасці прамавугольных трохвугольнікаў ў паслядоўна перпендыкулярных плоскасцях.

=== Вектарная прастора ===
У выпадку артаганальнай сістэмы вектараў <math>\{v_k\}\frac{}{}</math> мае месца роўнасць, якое таксама называюць тэарэмай Піфагора:

: <math>\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2. </math>
Калі <math>\{v_k\}\frac{}{}</math> — гэта праекцыі вектара на каардынатныя восі, то гэтая формула супадае з адлегласцю Еўкліда — і азначае, што даўжыня вектару роўная пні квадратнага сумы квадратаў яго кампанентаў.

Аналаг гэтага роўнасці ў выпадку бясконцай сістэмы вектараў мае назву роўнасці Парсеваля.

=== Нееўклідава геаметрыя ===
{{Асноўны артыкул|Нееўклідава геаметрыя}}

Тэарэма Піфагора выводзіцца з аксіём еўклідавай геаметрыі і, фактычна, не сапраўдная для нееўклідавай геаметрыі, у тым выглядзе, у якім запісана вышэй<ref name=false>

{{cite book |title=''cited work'' |author=Stephen W. Hawking |page=4 |url=http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 |isbn=0762419229 |year=2005}}

</ref>. (Гэта значыць тэарэма Піфагора аказваецца своеасаблівым эквівалентам пастулату Еўкліда аб паралельнасці<ref name=Parallel>

{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url=http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1584883472 |year=2003}}

</ref><ref name= Pruss>

{{cite book |title=The principle of sufficient reason: a reassessment |author= Alexander R. Pruss |quote=We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. |isbn=052185959X |year=2006 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url=http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11}}

</ref>) Іншымі словамі, у нееўклідавай геаметрыі суадносіны паміж бакамі трохвугольніка абавязкова будзе ў форме, якая адрозніваецца ад тэарэмы Піфагора. Напрыклад, у сферычнай геаметрыі ўсе тры бакі прамавугольнага (скажам ''a'', ''b'' і ''c''), якія абмяжоўваюць сабой актант (восьмую частку) адзінкавай сферы, маюць даўжыню π/2, што супярэчыць тэарэме Піфагора, таму што {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> ≠ ''c''<sup>2</sup>.}}

Разгледзім тут два выпадкі нееўклідавай геаметрыі — сферычная і гіпербалічныя геаметрыя; у абодвух выпадках, як і для еўклідавай прасторы для прамавугольных трохвугольнікаў, вынік, які замяняе тэарэму Піфагора, вынікае з тэарэмы косінусаў.

Аднак, тэарэма Піфагора застаецца справядлівай для гіпербалічнай і эліптычнай геаметрыі, калі патрабаванне аб прамавугольнага трохвугольніка замяніць умовай, што сума двух вуглоў трохвугольніка павінна раўняцца трэцяму, скажам ''A''+''B'' = ''C''. Тады суадносіны паміж бакамі выглядае так: сума плошчаў колаў з дыяметрамі ''a'' і ''b'' роўная плошчы круга з дыяметрам ''c''.<ref>{{cite journal|author=Victor Pambuccian|title=
Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=32|number=4|date=December 2010|page =2|doi=10.1007/s00283-010-9169-0}}</ref>

==== Сферычная геаметрыя ====

[[Файл:Triangle sphérique.svg|thumb|Сферычны трохвугольнік]]

Для любога прамавугольнага трохвугольніка на сферы радыусам ''R'' (напрыклад, калі вугал γ ў трыкутніку прамы) з бакамі ''a'', ''b'', ''c'' суадносіны паміж бакамі будуць мець такі выгляд:<ref name=O'Neill>
{{cite book |title=Elementary differential geometry |author=Barrett O'Neill |url=http://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 |chapter=Exercise 4 |page=441 |isbn=0120887355 |year=2006 |edition=2nd |publisher=Academic Press}}
</ref>

: <math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).</math>

Гэта роўнасць можа быць выведзена як асаблівы выпадак сферычнай тэарэмы косінусаў, якая справядліва для ўсіх сферычных трохвугольнікаў:

: <math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .</math>

Ужываючы рад Тэйлара ў функцыі косінуса {{nowrap|cos ''x'' ≈ 1 − ''x''<sup>2</sup>/2}} можна паказаць, што калі радыус ''R'' набліжаецца да бясконцасці, а аргументы ''a/R, b/R і c/R'' набліжаюцца да нуля, сферычныя суадносіны паміж бакамі ў прамавугольным трохвугольніку набліжаецца да тэарэмы Піфагора. Падставім набліжаныя значэнні для кожнага косінуса:

: <math>1-\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left[1-\left(\frac{a}{R}\right)^2 \right]\left[1-\left(\frac{b}{R}\right)^2 \right] + o(a^2+b^2) </math>
Перамнажаць выразы ў дужках, атрымаем тэарэму Піфагора для вялікіх радыусаў ''R'':

: <math>\left(\frac{c}{R}\right)^2= \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + o(a^2+b^2),</math>
дзе «higher order terms» — складнікі вышэйшага парадку, якімі можна грэбаваць пры вялікіх значэннях ''R''.

==== Гіпербалічныя геаметрыя ====

[[Файл:Hyperbolic triangle.svg|thumb|Гіпербалічны трохвугольнік]]

Для прамавугольнага трохвугольніка ў гіпербалічнай геаметрыі з бакамі ''a, b, c'', калі бок ''c'' размешчаны насупраць прамога вугла, суадносіны паміж бакамі будуць такімі<ref name=Stahl>

{{cite book |title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |author=Saul Stahl |page=122 |url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |chapter=Theorem 8.3| isbn=086720298X |year=1993 |publisher=Jones & Bartlett Learning}}

</ref>

: <math> \mathrm{ch} c=\mathrm{ch} a\,\mathrm{ch} b</math>

где ch — гіпербалічны косінус<ref>Микиша А. М., Орлов В. Б. «Толковый математический словарь. Основные термины.», М. «Русский язык», 1989 г.</ref>. Гэтая формула з'яўляецца прыватным выпадкам гіпербалічнай тэарэмы косінусаў, якая справядлівая для ўсіх трохвугольнікаў:<ref name=Gilman>

{{cite book |title=Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R) |author=Jane Gilman |url=http://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 |chapter=Hyperbolic triangles |isbn=0821803611 |year=1995 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}

</ref>

: <math>\mathrm{ch}c= \mathrm{ch} a \ \mathrm{ch} b - \mathrm{sh} a \ \mathrm{sh} \ \cos \gamma \ , </math>

дзе <math>\gamma</math> — гэта вугал, вяршыня якога процілеглая баку ''c''.

Выкарыстоўваючы рад Тэйлара для гіпербалічнага косінуса <math>\mathrm{ch}x \approx 1 + x^2 / 2</math>, можна даказаць, што калі гіпербалічны трохвугольнік памяншаецца (гэта значыць, калі ''a'', ''b'', і ''c'' набліжаюцца да нуля), то гіпербалічныя суадносіны ў прамавугольным трохвугольніку набліжаюцца да тэарэмы Піфагора.

=== Дыферэнцыяльная геаметрыя ===

[[Файл:Line elements2.svg|thumb|Адлегласць паміж пунктамі, аддаленымі адзін ад аднаго на бясконца малую велічыню ў дэкартавых (уверсе) [[Палярная сістэма каардынат|палярных каардынатах]] (унізе), згодна з тэарэмай Піфагора]]

У трохмернай прасторы для двух пунктаў, аддаленых адзін ад аднаго на бясконца малую адлегласць, запішам тэарэму Піфагора:

: <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,\, </math>

дзе ''ds'' — гэта адлегласць паміж пунктамі, а (''dx'', ''dy'', ''dz'') — кампаненты вектара, якія злучаюць гэтыя два пункты. Такая прастора называецца еўклідавай. Аднак, абагульненне гэтага выказвання прыдатна для агульных каардынат (не толькі дэкартавых) і агульных прастор (не толькі еўклідавай) і мае выгляд:<ref name=Chow>
{{cite book |title=Mathematical methods for physicists: a concise introduction |author=Tai L. Chow |page=52 |url=http://books.google.com/?id=MpRXPOYZzfUC&pg=PA52 |isbn=0521655447 |year=2000 |publisher=Cambridge University Press}}
</ref>

: <math>ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j </math>

дзе {{nowrap|''g''<sub>''ij''</sub>}} называецца метрычным тэнзарам. Ён можа быць функцыяй пазіцыі. Такія крывалінейныя прасторы ўключаюць Рыманаву геаметрыю як агульны прыклад. Гэта фармулёўка таксама падыходзіць для еўклідавай прасторы пры ўжыванні крывалінейных каардынат. Напрыклад, для палярных каардынат:

: <math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ . </math>

=== Вектарны здабытак ===

[[Файл:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|Плошча паралелаграма як вектарны здабытак; вектары '''a''' і '''b''' задаюць плоскасць, а вектар {{nowrap|'''a × b'''}} перпендыкулярны да гэтай плоскасці.]]

Тэарэма Піфагора звязвае два выразы велічыні вектарнага здабытку. Адзін з падыходаў да вызначэння вектарнага здабытку патрабуе, каб ён задавальняў ураўненні:<ref name=Massey>

{{cite journal |doi=10.2307/2323537 |title=Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces |author=WS Massey |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |month=Dec. |year=1983 |pages=697–701 |jstor=2323537 |issue=10 |publisher=Mathematical Association of America |ref=harv}}
</ref>

: <math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \, </math>

ў гэтай формуле выкарыстоўваецца скалярны здабытак. Правы бок ўраўненні называецца дэтэрмінант Грама для '''a''' і '''b''', што роўна плошчы паралелаграма, ўтворанага гэтымі двума вектарамі. Зыходзячы з гэтага патрабавання, а таксама патрабавання аб перпендыкулярнасці вектарнага здабытку да яго складнікаў '''a''' і '''b''' вынікае, што, за выключэннем трывіяльных выпадкаў з 0- і 1-мернай прасторы, вектарны здабытак вызначаны толькі ў трох і сямі вымярэннях<ref name=n_dimensions>

Although a cross-product involving ''n'' − 1 vectors can be found in ''n'' dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3 dimensions and in 7 dimensions. See {{cite book |title=Clifford algebras and spinors |author=Pertti Lounesto |url=http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA96 |page=96 |chapter=§7.4 Cross product of two vectors |isbn=0521005515 |year=2001 |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd}}

</ref>. Выкарыстоўваем вызначэнне вугла ў ''n''-мернай прасторы:<ref name=Hildebrand>

{{cite book |title=Methods of applied mathematics |author=Francis Begnaud Hildebrand |page=24 |url=http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24|isbn=0486670023 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd|publisher=Courier Dover Publications |year=1992}}
</ref>
: <math> (\mathbf{a \cdot b}) = ab \ \cos \theta \ , </math>

гэта ўласцівасць вектарнага здабытку дае яго велічыню ў такім выглядзе:

: <math> \|\mathbf{ a \times b} \|^2 =a^2 b^2 \left(1 - \cos^2 \theta \right). \, </math>
Праз фундаментальную трыганаметрычную тоеснасць Піфагора<ref name= Leff>
{{cite book |title=PreCalculus the Easy Way |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296 |page=296 |isbn=0764128922 |edition=7th |publisher=Barron's Educational Series |year=2005}}
</ref> атрымліваем іншую форму запісу яго велічыні:

<ref name= Leff>
{{cite book |title=PreCalculus the Easy Way |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296 |page=296 |isbn=0764128922 |edition=7th |publisher=Barron's Educational Series |year=2005}}
</ref>
Альтэрнатыўны падыход да вызначэння вектарнага здабытку выкарыстоўвае выраз для яго велічыні. Тады, разважаючы ў зваротным парадку, атрымліваем сувязь са скалярных здабыткам:

: <math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2  = \|\mathbf{a}\|^2  \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \ </math>

=== Тэорыя лікаў ===
Піфагоравай тройкай называецца набор з трох натуральных лікаў <math>(x,\;y,\;z),</math> якія задавальняюць наступнаму аднароднаму квадратнаму ўраўненні:

: <math>x^2 + y^2 = z^2. </math>
Фармулёўка «Вялікай тэарэмы Ферма» аналагічная задачы знаходжання піфагоравых троек для ступені больш за 2.

== Згадка ў мастацкай літаратуры ==
Тэарэма Піфагора згадваецца ў аповесці Яўгена Вялцістава «Электронік — хлопчык з валізкі», дзе Электронік ў ролі Сыраежкіна на ўроку матэматыкі ў школе сцвярджае, што можа даказаць тэарэму Піфагора дваццаццю пяццю спосабамі і прыводзіць некаторыя з іх, чым дзівіць клас і настаўніка матэматыкі Таратара.

== Гл. таксама ==
* [[Піфагораў трохвугольнік]]

{{зноскі}}

== Літаратура ==

* ''Скопец З. А.'' Геометрические миниатюры. М., 1990
* ''Еленьский Щ.'' По следам Пифагора. М., 1961
* ''Ван-дер-Варден Б. Л.'' Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
* ''Глейзер Г. И.'' История математики в школе. М., 1982
* В. Литцман, [http://www.ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm#ch1 «Теорема Пифагора»] М., 1960.
* [http://th-pif.narod.ru/ Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств], материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
* [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки] глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
* [http://www.moypifagor.narod.ru/history.htm История теоремы Пифагора]
* [http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm О теореме Пифагора и способах её доказательства] Г. Глейзер, академик РАО, Москва
* Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для [http://www.etudes.ru/ru/mov/mov044/index.php компьютера], [http://itunes.apple.com/ru/app/id404430950 iPhone], [http://itunes.apple.com/ru/app/pythagoras-hd/id404432708 iPad])
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Тэарэма Піфагора на WolframMathWorld] {{ref-en}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Cut-The-Knot, секцыя, прысвечаная тэарэме Піфагора, каля 70 доказаў і шырокая дадатковая інфармацыя]{{ref-en}}

[[Катэгорыя:Геаметрыя]]
[[Катэгорыя:Тэарэмы]]
[[Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы]]