Прагляд зыходнага тэксту старонкі Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

[[Выява:Parallelaxes.svg|thumb|right|250px|Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.]]
'''Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера''', ці проста '''тэарэма Штэйнера''' (названа па імі швейцарскага матэматыка [[Якаб Штэйнер|Якаба Штэйнера]] і галандскага матэматыка, фізіка і астранома [[Хрысціян Гюйгенс|Хрысціяна Гюйгенса]]): [[момант інерцыі]] <math>J</math> цела  адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела <math>J_C</math> адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела <math>m</math> на квадрат адлегласці <math>d</math> паміж восямі:
: <math>J=J_C+md^2\,\!</math>
дзе
: <math>J_C</math> — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
: <math>J</math> — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
: <math>m</math> — маса цела,
: <math>d</math> — адлегласць паміж указанымі восямі.

== Выснова ==
Момант інерцыі, паводле азначэння:
: <math>J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r'}_i)^2\,\!</math>
[[Радыус-вектар]] <math>\vec{r'}_i\,\!</math> можна распісаць як суму двух вектараў:
: <math>\vec{r'}_i=\vec{r}_i+\vec{d}\,\!</math>,
дзе <math>\vec{d}</math> — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння.
Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:
: <math>J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i \vec{d} + \sum_{i=1}^n m_i (\vec{d})^2\,\!</math>
Выносячы за суму <math>\vec{d}</math>, атрымаем:
: <math>J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \vec{d} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!</math>
Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:
: <math>\sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i=0\,\!</math>
Тады:
: <math>J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!</math>
Адкуль і вынікае шуканая формула:
: <math>J=J_C + m d^2\,\!</math>,
дзе <math>J_C</math> — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

== Прыклад ==
Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і  перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю <math>C</math>) роўны
: <math>J_C=\frac{mL^2}{12}.</math>
Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны
: <math>J=J_C+md^2\,\!</math>
дзе <math>d</math> — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю <math>C</math>. У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле <math>d=L/2</math>:
: <math>J=J_C+m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4}=\frac{mL^2}{3}.</math>

== Пералік тэнзара інерцыі ==
Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на [[Момант інерцыі#Тэнзар інерцыі і эліпсоід інерцыі|тэнзар моманту інерцыі]], што дазваляе атрымліваць тэнзар <math>\mathbf{J}_{ij}</math> адносна адвольнага пункта з тэнзара <math>\mathbf{I}_{ij}</math> адносна цэнтра мас. Няхай <math>\mathbf{a}</math> — зрушэнне ад цэнтра мас, тады
: <math>\mathbf{J}_{ij}=\mathbf{I}_{ij}+m(a^2\delta_{ij}-a_ia_j),</math>
дзе
: <math>\mathbf{a}=a_1\mathbf{\hat{x}}+a_2\mathbf{\hat{y}}+a_3\mathbf{\hat{z}}</math> — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а <math>\delta_{ij}</math> — [[сімвал Кронекера]].
Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры <math>i=j</math>) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

== Гл. таксама ==
* [[Момант інерцыі]]
* [[Спіс момантаў інерцыі]]

{{DEFAULTSORT:Штэйнера тэарэма}}

[[Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы]]
[[Катэгорыя:Тэарэтычная механіка]]
[[Катэгорыя:Законы класічнай механікі]]