Прагляд зыходнага тэксту старонкі Сума

'''Су́ма''' ({{lang-la|summa}} — вынік) — вынік аперацыі [[складанне|складання]] велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц {{nobr|і г. д.}}). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці [[камутатыўная аперацыя|камутатыўнасці]], [[асацыятыўная аперацыя|асацыятыўнасці]] для аперацыі складання, а таксама [[дыстрыбутыўная аперацыя|дыстрыбутыўнасці]] ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:
* перастаўляльны закон
: а + b = b + a
* спалучальны закон
: а + (b + c) = (а + b) + c
* правы размеркавальны закон
: (а + b)с = ас + bc
* левы размеркавальны закон
: с(а + b) = ca + cb

У [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]] сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

== Вызначаная сума ==

Часта суму ''n'' складнікаў ''a''<sub>k</sub>, ''a''<sub>k+1</sub>, …, ''a''<sub>N</sub> абазначаюць вялікай літарай [[Грэчаскі алфавіт|гречаскай літарай]] [[сігма, літара|Σ]] (сігма):

<math>a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i</math>

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай ''a''<sub>i</sub> па''i'' ад ''k'' да ''N''.<br />
Для зручнасці замест <math>\sum_{i=k}^Na_i</math>, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math>, дзе <math>P(i)\ </math> — некаторая ўмова для <math>i\ </math>, такім чынам <math>\sum_{P(i)}^{}a_i</math> гэта канечная сума ўсіх <math>a_i\ </math>, дзе <math>i\in Z : P(i)\ </math><br />
Уласцівасці вызначанай сумы:
# <math>\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i</math>
# <math>\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i</math>

== Прыклады ==
# Сума [[Арыфметычная прагрэсія|арыфметычнай прагрэсіі]]:
#: <math>\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}</math>
# Сума [[геаметрычная прагрэсія|геаметрычнай прагрэсіі]]:
#: <math>\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}</math>
# <math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0</math>
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
:<math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)</math>}}
# <math>\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доказ:
: <math>\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = 
p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow</math>
: <math>\Rightarrow (1-p)\sum_{k=0}^nip^i = \frac{-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = 
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}</math>}}
# <math>\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1</math>
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доказ:
:<math>(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =</math>
:<math>=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =</math>
:<math>=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=</math>
:<math>=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i</math>}}
#* Пры <math>p = 10\ </math> атрымліваем <math>\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1</math>, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:<br /><math>1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5</math>

== Нявызначаная сума ==

Нявызначанай сумай ''a''<sub>i</sub> по ''i'' называецца такая функцыя ''f(i)'', якая абазначаецца
<math>\sum_{i}^{} a_i</math>,
что <math>\forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}</math>.

== Формула Ньютана — Лейбніца ==
{{асноўны артыкул|Формула Ньютана — Лейбніца}}
Калі знайдзена нявызначаная сума
<math>\sum_{i}^{} a_i = f(i)</math>,
тады
<math>\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)</math>.&nbsp;

== Паходжанне слова ==
[[Лацінская мова|Лацінскае]] слова ''summa'' перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З [[XV]] стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» ([[1489]] год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў [[руская мова|рускай]], sum ў [[англійская мова|англійскай]], somme ў [[французская мова|французскай]].

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў [[Леанард Эйлер|Эйлер]] у [[1755]] годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі [[інтэграл|інтэгравання]].

== Гл. таксама ==
* [[Кантрольная сума]]

[[Катэгорыя:Элементарная матэматыка]]