Прагляд зыходнага тэксту старонкі Залатое сячэнне

{{Значэнні|Залатое сячэнне}}
{| class="infobox"
|- style="background:#f0f0f0"
| nowrap="nowrap" | '''Сістэма злічэння''' || '''Ацэнка ліку φ'''
|-
|align="right"| [[Двайковая сістэма злічэння|Двайковая]] || 1.1001111000110111011…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Дзесятковая сістэма злічэння|Дзесятковая]] || 1.6180339887498948482…
|-
|align="right"| [[Шаснаццаткавая сістэма злічэння|Шаснаццаткавая]] || 1.9E3779B97F4A7C15F39…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Непарыўны дроб]] ||<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
|}
{{Урэзка | Выроўніванне = right | Шырыня = 30em | Змест =
<div style="text-align:right">
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
</div>
 | Подпіс         =<hr />
 Першыя 1000 дзесятковых знакаў ліку φ, разлічаныя камп'ютарам у 1996 годзе<ref>[https://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htm Golden ratio 1000 digits]</ref>.
}}

'''Залатое сячэнне''' (''залатая прапорцыя'', ''дзяленне ў крайняй і сярэдняй адносіне'', ''гарманічнае дзяленне'') — [[адносіна]] дзвюх велічынь a і b, b > a, калі справядліва b/a = (a+b)/b.
Лік, роўны адносіне b/a, звычайна абазначаецца грэчаскай літарай <math>\varphi</math>, радзей — грэчаскай літарай <math>\tau</math>.
З зыходнай роўнасці няцяжка атрымаць, што
: <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2.</math>
Адваротны лік
: <math>\frac1\varphi=\frac{-1+\sqrt5}2.</math>
Адсюль вынікае, што
: <math>\frac1\varphi = \varphi-1.</math>

Для практычных мэт абмяжоўваюцца прыблізным значэннем <math>\varphi = 1{,}618</math> ці <math>\varphi = 1{,}62</math>. У працэнтным акругленым значэнні залатое сячэнне — гэта дзяленне якой-небудзь велічыні ў адносінах 62 % і 38 %.

Гістарычна першапачаткова залатым сячэннем называлася дзяленне адрэзка АВ кропкай С на дзве часткі (меншы адрэзак АС і большы адрэзак СВ), каб для даўжынь адрэзкаў было верна AC/CB = CB/AВ. Пазней гэта было распаўсюджана на адвольныя велічыні.

Лік <math>\varphi</math> называецца таксама '''залатым лікам'''.

У дайшоўшай да нас антычнай літаратуры дзяленне адрэзка ў крайняй і сярэдняй адносіне ({{lang-el2|ἄκρος καὶ μέσος λόγος}}) упершыню сустракаецца ў [[Пачаткі Еўкліда|«Пачатках» Еўкліда]] (каля 300 г. да н. э.), дзе яно прымяняецца для пабудовы [[правільны пяцівугольнік|правільнага пяцівугольніка]].

[[Лука Пачолі]], сучаснік і друг [[Леанарда да Вінчы]], называў гэту адносіну «боскай прапорцыяй». Тэрмін «залатое сячэнне» ({{lang-de|goldener schnitt}}) быў уведзены ва ўжытак [[Марцін Ом|Марцінам Омам]] ў 1835 годзе.

Залатое сячэнне мае мноства выдатных уласцівасцей, але, акрамя таго, яму прыпісваюць і многія выдуманыя ўласцівасці<ref name="раздюкевич">[http://www.sibdesign.ru/index.php?text=1&razdel=stat&textnew=20030615041954 Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»]</ref><ref name="Livio">Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number</ref><ref name="myth">Devlin's Angle, [http://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away]</ref>.

== Матэматычныя ўласцівасці ==
[[Файл:Rechteck GoldenerSchnitt.gif|thumb|190px|Адрэзаўшы квадрат ад прамавугольніка, пабудаванага па прынцыпе залатога сячэння, мы атрымліваем новы, паменшаны прамавугольнік з тымі ж адносінамі старон a/b=(a+b)/a]]

=== Лікава-алгебраічныя ўласцівасці ===
* <math>\varphi</math> — [[ірацыянальны лік|ірацыянальны]] [[алгебраічны лік]], дадатнае рашэнне квадратнага ўраўнення
*: <math>x^2 - x - 1 = 0,</math>
: адкуль, у прыватнасці, вынікаюць суадносіны:
:: <math>\varphi \cdot (\varphi - 1) = 1.</math>

* <math>\varphi</math> выражаецца праз значэнні [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]]:
*: <math>\varphi = 2  \cos \frac{\pi}5 = 2  \cos 36^\circ.</math>
*: <math>\varphi = 2  \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ. </math>

* <math>\varphi</math> прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцужка квадратных каранёў:
*: <math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.</math>

* <math>\varphi\;</math> прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага [[ланцуговы дроб|ланцуговага дробу]]
*: <math>\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},</math>
: падыходнымі дробамі якой служаць адносіны паслядоўных [[лікі Фібаначы|лікаў Фібаначы]] <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>. Такім чынам,
:: <math>\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.</math>

* [[Мера ірацыянальнасці]] <math>\varphi</math> роўная 2.

* Значэнні дробу пасля коскі для <math>\varphi</math>, <math>\frac1\varphi</math> і <math>\varphi^2</math> у любой сістэме злічэння будуць роўныя<ref>{{Cite web|url = https://numsys.ru/|title =Системы счисления |author = |date = |publisher = }}</ref>.

=== Геаметрычныя ўласцівасці ===
[[Файл:Pentagram-phi.svg|right|thumb|200px|Залатое сячэнне ў пяціканцовай зорцы]]
[[Файл:Construction of a golden ratio.svg|right|thumb|200px|Пабудова залатога сячэння]]
[[Файл:Penrose Tiling (Rhombi).svg|right|thumb|200px|[[Мазаіка Пенроўза]]]]
* У правільнай [[Пентаграма|пяціканцовай зорцы]] кожны адрэзак дзеліцца перасякаючым яго адрэзкам у залатым сячэнні (на прыведзеным малюнку адносіны чырвонага адрэзка да зялёнага, зялёнага да сіняга і сіняга да пурпурнага роўныя <math>\varphi</math>. Акрамя таго, адносіна чырвонага адрэзка да адлегласці паміж суседнімі вяршынямі зоркі (якое роўна зялёнаму адрэзку), таксама роўная <math>\varphi</math>).

* Адносіна [[дыяганаль|дыяганалі]] правільнага пяцівугольніка да стараны роўна залатому сячэнню.
* Пры дзяленні папалам вугла паміж дыяганаллю і меншай стараной прамавугольніка з адносінамі старон 1:2 атрымліваем лік
*:<math>\frac{1}{\varphi} = \operatorname{tg}\left(\frac{\operatorname{arctg} 2}{2}\right).</math>

; Геаметрычная пабудова
Залатое сячэнне адрэзка <math>AB</math> можна [[пабудова з дапамогай цыркуля і лінейкі|пабудаваць]] наступным чынам: у пункце <math>B</math> будуюць перпендыкуляр да <math> AB </math>, адкладваюць на ім адрэзак <math> BC </math>, роўны палавіне <math> AB </math>, на адрэзку <math> AC </math> адкладваюць адрэзак <math> CD </math>, роўны <math> BC </math>, і нарэшце, на адрэзку <math> AB </math> адкладваюць адрэзак <math> AE </math>, роўны <math> AD </math> . Тады
: <math>\varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}.</math>

== Залатое сячэнне і гармонія ў мастацтве ==

[[Файл:Gold&kadr.jpg|left|thumb|190px|Залатое сячэнне і зрокавыя цэнтры]]

Пад «правілам залатога сячэння» ў архітэктуры і мастацтве звычайна маюцца на ўвазе кампазіцыі, якія змяшчаюць прапорцыі, блізкія да залатога сячэння.

Некаторыя са сцвярджэнняў на карысць гіпотэзы ведання старажытнымі правіла залатога сячэння:
* Прапорцыі [[піраміда Хеопса|піраміды Хеопса]], храмаў, барэльефаў, прадметаў побыту і ўпрыгажэнняў з грабніцы [[Тутанхамон]]а сведчаць, што егіпецкія майстры карысталіся суадносінамі залатога сячэння пры іх стварэнні.
* Згодна з [[Ле Карбюзье]], у рэльефе з храма фараона [[Сеці I]] у [[Абідас]]е прапорцыі фігур адпавядаюць залатому сячэнню. У фасадзе старажытнагрэчаскага храма [[Парфенон]]а таксама прысутнічаюць залатыя прапорцыі. У цыркулі з старажытнарымскага горада [[Пампеі]] (музей у [[Неапаль|Неапалі]]) таксама закладзены прапорцыі залатога дзялення, і т. д.
* Варта адзначыць, што сама дакладная прапорцыя з'яўляецца ідэальным эталонным значэннем. У прыродзе рэальныя суадносіны у біялагічных відаў, як правіла, трохі адрозніваюцца ад залатога сячэння, што выклікана прыстасаваннем да навакольнага асяроддзя ў працэсе жыцця. Прыкладам такіх «адхіленняў» можа служыць марская камбала.

=== Прыклады свядомага выкарыстання ===
Пачынаючы з [[Леанарда да Вінчы]], многія мастакі свядома выкарыстоўвалі прапорцыі «залатога сячэння». Расійскі дойлід Жалтоўскі выкарыстоўваў залатое сячэнне ў сваіх праектах<ref>[http://www.architektor.ru/ai/2004_1/kordo.htm Золотой запас зодчества]</ref>.
[[Іаган Себасцьян Бах]] у сваёй інвенцыі E-dur № 6 BWV 792 выкарыстоўваў двухчасткавую форму, у якой суадносіны памераў частак адпавядаюць прапорцыям залатога сячэння. 1 частка — 17 тактаў, 2 частка — 24 такты. (Невялікія неадпаведнасці выраўноўваюцца за кошт ферматы ў 34 такце).

Геаметрыя плана грабніцы фараона Старажытнага Егіпта [[Менес]]а пабудавана з выкарыстаннем прапорцыі, якую мы цяпер звязваем з залатым сячэннем<ref>Стеликов Н. Е. «Гармония древнеегипетской архитектуры.» Горки: БГСХА. 2009, 108 с.</ref>.

== Залатое сячэнне ў біялогіі і медыцыне ==

[[Файл:Nautilus Section cut Logarithmic spiral.jpg|right|thumb|150px|Залатое сячэнне ў прыродзе]]

Жывыя сістэмы таксама валодаюць уласцівасцямі, характэрнымі для «залатога сячэння». Напрыклад: прапорцыі цел, спіральныя структуры ці параметры біярытмаў<ref>[http://314159.ru/tsvetkov/tsvetkov2.htm Цветков, В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с.]</ref> і інш.

== Гл. таксама ==
* {{нп4|Пентаграма|Піфагарэйскі пентакл|ru|Пентаграмма}}
* {{нп4|Фібаначыева сістэма злічэння||ru|Фибоначчиева система счисления}}
* {{нп4|Правіла трэцей||ru|Правило третей}}
* {{нп4|Метад залатога сячэння||ru|Метод золотого сечения}}

== Зноскі ==
{{reflist}}

== Літаратура ==
* Залатое сячэнне // {{Крыніцы/БелЭн|6к}} С. 510.
* {{Крыніцы/МатемЭнц|2|артыкул=Золотое сечение|слупкі=466—467 <!-- стар. 458--459 -->}}
* ''Аракелян Г. Б.'' Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
* ''Бендукидзе А. Д.'' [http://kvant.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm Золотое сечение] «Квант» № 8, 1973
* ''Васютинский Н. А.'' Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
* ''Власов В. Г.'' Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
* ''Власов В. Г.'' Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
* ''Шмигевский Н. В.'' Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
* ''Сабанеев Л. Л.'' Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

== Спасылкі ==
* ''В. С. Белнин'', [http://www.a3d.ru/architecture/stat/182 «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»]
* ''А. В. Радзюкевич'', [http://elib.altstu.ru/elib/books/Files/pv2014_01/pdf/159radzukevich.pdf К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве].
* ''А. В. Радзюкевич'', [http://marhi.ru/AMIT/2014/4kvart14/radzukevich/radzukevich.pdf Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».]
* ''В. Лаврус'', [http://www.n-t.ru/tp/iz/zs.htm Золотое сечение]
* ''Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве'', [http://www.linteum.ru/article44.html Золотое сечение в изобразительном искусстве]
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+&a=*C.fibonacci-_*Function- Функция Фибоначчи] в [[Wolfram alpha]]
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{OEIS2C|id=A001622}}

{{Лікі з уласнымі імёнамі}}

[[Катэгорыя:Залатое сячэнне]]
[[Катэгорыя:Алгебраічныя лікі]]
[[Катэгорыя:Безразмерныя параметры]]