Прагляд зыходнага тэксту старонкі Гама-функцыя

[[File:Gamma abs 3D.png|thumb|240px|Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці]]
'''Гама-функцыя''' (або '''Эйлераў інтэграл другога роду''') — [[матэматыка|матэматычная]] [[функцыя, матэматыка|функцыя]], якая пашырае паняцце [[фактарыял]]а на [[поле, алгебра|поле]] [[камплексны лік|камплексных лікаў]]. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай '''[[гама, літара|гама]]''' {{math|Γ(''z'')}}.

Для [[натуральны лік|натуральных]] {{math|''n''}} справядліва роўнасць:
:<math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогаю збежнага [[неўласцівы інтэграл|неўласцівага інтэграла]]:
:<math> \Gamma(t) = \int\limits_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}\, dx.</math>
Гэту інтэгральную функцыю можна [[аналітычны працяг|аналітычна працягнуць]] на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя [[полюс, камплексны аналіз|полюсы]]). Атрыманая ў выніку [[мераморфная функцыя]] і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена [[Леанард Эйлер|Леанардам Эйлерам]], а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана [[Адрыен Мары Лежандр|Лежандру]].

== Азначэнні ==
[[Файл:Gamma plot.svg|240px|thumb|Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай]]
=== Інтэгральнае азначэнне===
Калі рэчаісная частка камплекснага ліку <math>z</math> дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз [[інтэграл]]
: <math>~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty} t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)>0</math>
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць
: <math>~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).</math>
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля
: <math>~\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi {\mathrm z}}-1}\int\limits_L\!t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>
дзе контур <math>L</math> — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт <math>t = 0</math> супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з'яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

=== Азначэнне па [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаусу]] ===
Яно вернае для ўсіх камплексных <math>z</math>, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў
: <math>\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>

=== Азначэнне па [[Леанард Эйлер|Эйлеру]]===
: <math>\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>

=== Азначэнне па [[Карл Веерштрас|Веерштрасу]]===
: <math>\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\},</math>
дзе  <math>\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722</math> — [[пастаянная Эйлера — Маскероні]].

=== Заўвагі ===
* Вышэйпрыведзены інтэграл [[абсалютная збежнасць|збягаецца абсалютна]], калі рэчаісная частка камплекснага ліку <math>z</math> дадатна.
* Прымяняючы [[інтэграванне па частках]], можна паказаць, што тоеснасць
*: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math>
: справядліва для падынтэгральнага выразу.
* Паколькі <math>\Gamma(1)=1</math>, для ўсіх [[натуральны лік|натуральных лікаў]] <math>n</math>
: <math>\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!</math>
* <math>\Gamma(z)</math> з'яўляецца [[мераморфная функцыя|мераморфнаю]] на камплекснай плоскасці і мае [[Полюс, камплексны аналіз|полюсы]] ў пунктах <math>z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots</math>

== Звязаныя азначэнні ==
* Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая ''пі-функцыя'', якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
*: <math>\Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).</math>
* У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама [[Няпоўная гама-функцыя|няпоўную гама-функцыю]], якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
: <math>\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty {t^{a-1} e^{-t}\,dt},</math>
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:
: <math>\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z} {t^{a-1} e^{-t}\,dt}.</math>

== Уласцівасці ==
[[Выява:Gamma_abs.png|240px|thumb|right|Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.]]
[[Выява:Jahnke gamma function.png|thumb|240px]]
* Формула дапаўнення Эйлера:
*: <math>\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.</math>
* З яе вынікае {{нп4|формула памнажэння Гауса|||Multiplication theorem}}:
*: <math>\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),</math>
* якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
*:<math>
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!
</math>
* Гама-функцыя мае [[полюс, камплексны аналіз|полюс]] у <math>z=-n</math> для любога натуральнага <math>n</math> і нуля; [[вылік, камплексный аналіз|вылік]] у гэтым пункце задаецца так:
*: <math>\operatorname{Res}_{z=-n} \Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.</math>
* Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў [[Карл Веерштрас|Веерштрас]], верна для ўсіх камплексных <math>z</math>, акрамя недадатных цэлых лікаў:
*: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k},</math>
: дзе <math>\gamma</math> — [[пастаянная Эйлера — Маскероні]].
* Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
*: <math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})</math>.
* Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
*: <math>\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x),</math>
: дзе <math>\psi(x)</math> часта называюць «псі-функцыяй», ці [[Дыгама-функцыя|дыгама-функцыяй]].
* Гама-функцыя і [[бэта-функцыя]] звязаны наступнымі суадносінамі:
*: <math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

=== Асобныя значэнні ===
* Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
*: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.</math>
*: <math>\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt\frac{(2 \pi)^{3/2}}{AGM(\sqrt 2, 1)},</math>
*: дзе {{math|''AGM''(''x'', ''y'')}} — {{нп3|сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае||en|Arithmetic–geometric mean}} лікаў {{math|''x''}} і {{math|''y''}}.
*: <math>\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.</math>
*: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] </math>
*:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] </math>

== Гл. таксама ==
* [[Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера]]
* [[K-функцыя]]
* [[G-функцыя Барнса]]
* [[Бэта-функцыя]]
* [[Гама-размеркаванне]]
* [[Няпоўная гама-функцыя]]
* [[Формула Стырлінга]]

== Літаратура ==
* {{кніга
 | аўтар         = Купцов Л. П.
 | частка        = Гамма-функция
 | том           = 1
 | загаловак     = Математическая энциклопедия
 | адказны       = И. М. Виноградов (гл. ред.)
 | месца         = М.
 | выдавецтва    = Советская энциклопедия
 | старонкі      = 
 | год           = 
 | старонак      = 
 | тыраж         = 
}}

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|urlname=GammaFunction |title=Gamma Function}}

[[Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі]]