Прагляд зыходнага тэксту старонкі Вызначнік (алгебра)

'''Вызначнік'''<ref name="МЭ">
{{кніга
|аўтар         = 
|загаловак     = Матэматычная энцыклапедыя
|адказны       = Гал. рэд. В.Бернік
|спасылка      = 
|месца         = Мінск
|выдавецтва    = Тэхналогія
|год           = 2001
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}
</ref> (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай [[матрыца, матэматыка|матрыцы]] ([[мнагачлен]] ад {{math|''n''<sup>2</sup>}} зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца [[выраджаная матрыца|выраджаная]]. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

== Строгае азначэнне ==
=== Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы ===
Няхай
:<math>
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
</math>

'''Вызначнік''' {{math|''n'' × ''n''}}-матрыцы {{math|''A''}} − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
:<math>\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)},</math>
дзе складанне адбываецца па ўсіх [[перастаноўка, камбінаторыка|перастаноўках]] {{math|''σ''}} мноства {{math|{1,...,''n''} }}, {{math|sgn(''σ'')}} − знак перастаноўкі {{math|''σ''}}, роўны +1, калі {{math|''σ''}} [[цотнасць перастаноўкі, камбінаторыка|цотная]], і роўны -1, калі {{math|''σ''}} [[цотнасць перастаноўкі, камбінаторыка|няцотная]].

=== Праз адметныя ўласцівасці ===
Няхай
:<math>
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
</math>
− [[матрыца, матэматыка|матрыца]], каэфіцыенты {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} якой належаць [[колца, алгебра|колцу]] {{math|''R''}}, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе [[адзінка (тэорыя груп)|адзінка]].

Абазначым праз {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} {{math|''i''}}-ты слупок матрыцы {{math|''A''}}:
:<math>a_i = \begin{pmatrix}
a_{i1}\\ a_{i2}\\ \dots\\ a_{in}
\end{pmatrix}.</math>

'''Вызначнікам''' называецца функцыя ад матрыцы {{math|''A''}}, якая прымае значэнні з [[колца, алгебра|колца]] {{math|''R''}} і задавальняе наступныя ўмовы:
# Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
#:<math>\det E = 1</math>
# Вызначнік як функцыя ад {{math|''n''}} слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
#:<math>\det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & \lambda a'_j + \mu a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix} =
\lambda \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a'_j & \dots & a_n \end{bmatrix} \ + \ 
\mu \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix} </math>
# Вызначнік як функцыя ад {{math|''n''}} слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
#:<math>\det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_j & a_{j+1} & \dots & a_n \end{bmatrix} = -\det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_{j+1} & a_j & \dots & a_n \end{bmatrix}</math>

== Уласцівасці ==
* Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
*: <math>\det E = 1</math>

* Вызначнік [[здабытак|здабытку]] матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
*: <math>\det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)</math>

* Няхай {{math|''r''}} ёсць [[скаляр|скалярнай велічынёю]], {{math|''A''}} з'яўляецца квадратнай [[матрыца, матэматыка|матрыцай]] парадку {{math|''n''}}. Тады
*: <math>\det(rA) = r^n \det(A)</math>

* [[Транспанаванне (лінейная алгебра)|Транспанаванне]] не змяняе велічыні вызначніка:
*: <math>\det A^T = \det A </math>

* Няхай [[колца, алгебра|колца]] {{math|''R''}} ёсць [[поле, алгебра|полем]]. Тады
*:<math>\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} </math>

* Калі матрыца {{math|''A''}} трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' > ''j''}}; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' < ''j''}}), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
*:<math>\det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.</math>

== Вызначнікі малых парадкаў ==
Для матрыцы першага парадку '''вызначнік''' роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
: <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}</math>

Для матрыцы {{math|2 × 2}} '''вызначнік''' роўны
: <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}</math>

Для матрыцы {{math|''n'' × ''n''}} '''вызначнік''' можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як '''раскаданне па першым радку'''):
: <math>\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j},</math>
дзе <math> M_{1j}</math> — [[дадатковы мінор]] элемента <math>a_{1j}.</math>

''Заўвага'': каб атрымаць дадатковы мінор {{math|''M''<sub>''ij''</sub>}} элемента {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}}, трэба закрэсліць {{math|''i''}}-ты радок і {{math|''j''}}-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што '''вызначнік''' матрыцы {{math|3 × 3}} раўняецца:
: <math>\Delta = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
a_{11}\begin{vmatrix}    a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = </math>
:: <math>= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} </math>

{{зноскі}}

== Крыніцы ==
* {{кніга
|аўтар         = Винберг Э.Б.
|загаловак     = Курс алгебры
|адказны       = 
|спасылка      = 
|месца         = Москва
|выдавецтва    = Факториал Пресс
|год           = 2002
|том           = 
|старонак      = 
|старонкі      = 
|isbn          = 
}}

[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]]
[[Катэгорыя:Алгебра]]
[[Катэгорыя:Вызначнікі]]