Прагляд зыходнага тэксту старонкі Адваротная матрыца

'''Адваротная матрыца''' — такая [[Матрыца, матэматыка|матрыца]] ''A<sup>−1</sup>'', пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца ''A'' дае ў выніку [[адзінкавая матрыца|адзінкавую матрыцу]] ''E'':

: <math>\! AA^{-1} = A^{-1}A = E.</math>

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе [[Вызначнік, алгебра|вызначнік]] не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і [[выраджаная матрыца|выраджаных матрыц]] адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

== Уласцівасці адваротнай матрыцы ==

* <math>\det A^{-1} = \frac{1}{\det A},</math> дзе <math>\det</math> абазначае вызначнік.
* <math>\ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}</math> для любых дзвюх абарачальных матрыц <math>A</math> і <math>B</math>.
* <math>\ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T,</math> дзе <math>*^T</math> абазначае [[Транспанаваная матрыца|транспанаваную матрыцу]].
* <math>\ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}</math> для любога каэфіцыента <math>k\not=0</math>.
* Калі неабходна рашыць [[Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў|сістэму лінейных ураўненняў]] <math>Ax=b</math>, (b — ненулявы вектар) дзе <math>x</math> — шуканы вектар, і калі <math>A^{-1}</math> існуе, то <math>x=A^{-1} b</math>. У адваротным выпадку альбо [[размернасць прасторы|размернасць]] прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

== Прыклады ==

=== Матрыца 2х2 ===

: <math>A^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}.</math>

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што <math>ad - bc = \det A \neq 0 </math>.

[[Катэгорыя:Тыпы матрыц]]